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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{example}[theorem]{示例}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{注记}

% ========== 文档信息 ==========
\title{常见函数空间及其关系}
\author{陈柏均}
\date{2025年4月20日}


\begin{document}
	\maketitle
	\begin{abstract}
		本文目的是为了探讨不同函数空间下的傅里叶变换。在此之前，首先讨论$L^p$空间，$C^n(\Omega)$空间，解析函数空间，$C_c^\infty(\Omega)$空间，速降函数S空间在测度有限和测度无穷的关系，因为如果空间有包含关系，那子空间的傅里叶变换性质就可以继承大空间的性质。测度有限是为了傅里叶级数的说明，增加文章可读性。测度无穷才是为我们的傅里叶变换做铺路。
		
		其次，还介绍了紧支撑的概念。是因为傅里叶变换本质就是积分，想要变换存在，就必须要积分有限，这正是$L^p$空间所能做到的，但是我们想探讨其他空间，只要让他包含$L^p$空间中就能得到很好2的处理。比如光滑函数。在测度无穷下，光滑函数空间与$L^p$空间无包含关系，加上紧支撑就能被包含在$L^p$空间，这就是紧支撑的作用。
		
		然后，我们探讨不同函数空间下的傅里叶变换的定义和性质。
		
		最后为了解决$\delta$函数，引入了广义函数的概念，把传统函数空间扩大，让$\delta$函数也在讨论范畴。还介绍了$D$和$S$的广义函数空间$D'$和$S'$,并讨论他们与传统函数空间的关系和他们的傅里叶变换。最后才探讨$\delta$函数和其傅里叶变换。
	\end{abstract}
	\newpage
	
	\tableofcontents
	\clearpage
	
	
	\section{不同函数空间及其关系}
	\subsection{\texorpdfstring{$L^p$}{Lp} 空间与 \texorpdfstring{$L^\infty$}{L∞} 空间}
	
	\begin{definition}$L^p$ 空间
		
			对函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$，若积分 $\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^p dx$ 有限（$1 \leq p < \infty$），则称 $f$ 属于 $L^p$ 空间。其范数定义为：
		\[
		\|f\|_{L^p} = \left( \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^p dx \right)^{1/p}.
		\]
	\end{definition}
	
	\begin{definition}$L^\infty$ 空间
		
		称函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 是\textbf{本质有界}的，若存在常数 $M \geq 0$，使得
		\[
		|f(x)| \leq M \quad \text{对几乎所有的 } x \in \mathbb{R} \text{ 成立} \, (\text{a.e.}),
		\]
		其本质确界范数定义为：
		\[
		\|f\|_{L^\infty} := \inf \big\{ M \geq 0 \,\big|\, |f(x)| \leq M \ \text{a.e.} \big\}.
		\]
		所有本质有界函数构成的集合记为 $L^\infty(\mathbb{R})$。
	\end{definition}
	
	
	
	
	
	\subsection{\texorpdfstring{$C^n(\Omega)$}{Cn} 与 \texorpdfstring{$C^\infty(\Omega)$}{C∞}光滑函数空间}
	
	\begin{definition}$C^n(\Omega)$和$C^\infty(\Omega)$
		
		令 $\Omega\subset\R^d$ 为开集，则
		\[
		C^n(\Omega)
		=\{f:\Omega\to\R:\text{$f$ 具有连续的 $0,1,\dots,n$ 阶偏导数}\},
		\]
		\[
		C^\infty(\Omega)
		=\bigcap_{n=0}^\infty C^n(\Omega).
		\]
	\end{definition}
	
	在有界域 $\Omega$ 上，任意连续函数必有界，从而
	\[
	C^n(\Omega)\subset L^p(\Omega),\quad 1\le p\le\infty.
	\]
	
	\subsection{解析函数$C^\omega(\Omega)$}
	
	\begin{definition}解析函数$C^\omega(\Omega)$
		
		若 $f:\Omega\to\R$ 在开集 $\Omega\subset\R^n$ 上可微无穷次，且任取 $x_0\in\Omega$，函数 $f$ 在 $x_0$ 的泰勒级数收敛并与 $f$ 一致，则称 $f$ 为解析函数。
	\end{definition}
	
	所有解析函数构成的集合记作 $C^\omega(\Omega)$，有包含关系：
	\[
	C^\omega(\Omega)\subsetneq C^\infty(\Omega).
	\]
	这个包含是严格的。例如 bump 函数
	\[
	\varphi(x)=
	\begin{cases}
		\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right), & |x|<1, \\
		0, & |x|\ge 1,
	\end{cases}
	\]
	是光滑函数，但不是解析函数，因为其在 $x=\pm 1$ 附近所有导数虽存在，但泰勒展开恒为 0，与函数本身不一致。
	\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness}{Smoothness}
	
	在拓扑意义下，$C^\omega(\Omega)$ 在 $C^\infty(\Omega)$ 中并不稠密。紧支撑光滑函数 $C_c^\infty(\Omega)$ 的存在正是为了替代解析函数在分布论中的不足，因为解析函数不允许有紧支撑，而 $C_c^\infty$ 中的 bump 函数是构造近似单位、分布作用的重要工具。
	
	解析函数不允许有紧支撑，除0函数，是因为解析函数可以泰勒展开成多项式，最多有$n$个根，即零点最多可数个，我们可知可数集的测度是0，所以他的支集为全体实数空间，不是紧的（有界闭集）。
	
	
	\subsection{紧支撑概念的引入}
	光滑函数空间 $C^\infty(\mathbb{R})$ 中的函数在无穷远处可能不衰减，导致其不属于 $L^p(\mathbb{R})$。为保证积分收敛性，引入紧支撑光滑函数空间：
	\[
	C_c^\infty(\mathbb{R}) = \left\{ f \in C^\infty(\mathbb{R}) \,\big|\, \supp(f) \text{ 为紧集} \right\},
	\]
	显然满足 $C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset L^p(\mathbb{R})$ 对任意 $1 \leq p \leq \infty$ 成立。
	\subsection{\texorpdfstring{$C_c^\infty(\Omega)$}{Cc∞}紧支撑光滑函数空间}
	
	\begin{definition}$C_c^\infty(\Omega)$紧支撑光滑函数空间
		
		\[
		\mathcal D(\Omega)=	C_c^\infty(\Omega)
		=\{\varphi\in C^\infty(\Omega):\supp\varphi\subset K,\ K\subset\subset\Omega\},
		\]
		
		
		即所有支持集紧于 $\Omega$ 的光滑函数。其在分布与弱解理论中用于构造逼近序列及光滑化操作。
		\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function}{Bump function}
	\end{definition}
	
	\subsection{速降函数空间 $\mathcal S$}
	
	\begin{definition}Schwartz 空间
		
		Schwartz 空间（速降函数空间）是指在光滑函数上所有函数及其导数在无穷远处衰减得比任意多项式还快的光滑函数组成的集合：
		\[
		\mathcal S(\R^n)
		=\Bigl\{f\in C^\infty(\R^n):
		\forall\alpha,\beta\in\N^n,\;\sup_{x\in\R^n}|x^\alpha D^\beta f(x)|<\infty\Bigr\}.
		\]
	\end{definition}
	
	由定义可知速降函数空间 $\mathcal S$仅在测度无穷才存在。
	
	\begin{theorem}求导运算和与多项式乘积运算封闭
		
		Schwartz 空间在速降意义下定义，记作 \( \mathcal{S} = \mathcal{S}(\mathbb{R}) \)。该空间是复数域 \( \mathbb{C} \) 上的线性空间。进一步地，若 \( f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \)，则有
		\[
		f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}), \quad xf(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}).
		\]
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}$\mathcal S_c(\R^n)=C_c^\infty(\R^n)$
		
		
		由于紧支撑光滑函数在无穷远处恒为零，可得：
		\[
		\mathcal S_c(\R^n)
		=\mathcal S(\R^n)\cap C_c^\infty(\R^n)
		=C_c^\infty(\R^n).
		\]
	\end{theorem}
	
	\section{不同函数空间在测度有穷和无穷下的关系}
	
	\subsection{测度有限情形 ($\mu(X)<\infty$)}
	
	在有限测度空间中，若 $1\leq p<q\le\infty$，则
	\[
	L^q(X)\subset L^p(X)\quad
	\]
	
	\begin{proof}
		当测度空间满足 $1 \leq p_1 \leq p_2 < +\infty$ 且 $m(E) < +\infty$ 时：
		
		若函数 $x(t)$ 属于 $L^{p_2}(E)$，则
		\[
		\left( \int_E |x(t)|^{p_2} \, dt \right)^{\frac{1}{p_2}} < +\infty
		\]
		因此
		\[
		\int_E |x(t)|^{p_2} \, dt < +\infty
		\]
		
		设集合 $B = \{ t \in E \mid |x(t)| \leq 1 \}$，则
		\[
		\int_E |x(t)|^{p_1} \, dt = \int_B |x(t)|^{p_1} \, dt + \int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_1} \, dt
		\]
		
		由于在 $B$ 上 $|x(t)| \leq 1$，故 $|x(t)|^{p_1} \leq 1$，从而
		\[
		\int_B |x(t)|^{p_1} \, dt \leq m(B)
		\]
		在 $E \setminus B$ 上 $|x(t)| > 1$，由于 $p_1 \leq p_2$，故 $|x(t)|^{p_1} \leq |x(t)|^{p_2}$，因此
		\[
		\int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_1} \, dt \leq \int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_2} \, dt
		\]
		
		综合得：
		\[
		\int_E |x(t)|^{p_1} \, dt \leq m(B) + \int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_2} \, dt \leq m(E) + \int_E |x(t)|^{p_2} \, dt < +\infty
		\]
		
		因此，在有限测度空间中，若 $x(t) \in L^{p_2}(E)$，则 $x(t) \in L^{p_1}(E)$。这表明 $L^{p_2}(E) \subseteq L^{p_1}(E)$，即 $L^p$ 空间具有包含关系，且 $L^1$ 是最大的。特别地，当测度有限时，$L^\infty(E) \subseteq L^1(E)$。
		
	\end{proof}
	
	
	
	
	对于有界开域 $\Omega$，还具有
	\[
	C^n(\Omega)\subset L^p(\Omega),\quad
	C^\infty(\Omega)\subset L^p(\Omega),\quad
	C_c^\infty(\Omega)\subset L^p(\Omega)
	\]
	且 $C_c^\infty(\Omega)$ 在 $L^p(\Omega)$ 下稠密。
	
	\subsection{测度无穷情形 ($\mu(X)=\infty$)}
	空间包含关系可总结为：
	\[
	C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subset C^\infty(\mathbb{R})
	\]
	\[
	C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subset  L^p(\mathbb{R}) ,1\leq p\le\infty
	\]
	\[ 
	\mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \subsetneq \bigcap_{1 \leq p < \infty} L^p(\mathbb{R}^n)
	\]
	
	在下文我们将讨论不同空间下的傅里叶变换，故如果空间有包含关系，那性质子空间就可以继承大空间的性质，就不再重复说明，子空间的性质我们只讨论子空间特有的性质。
	
	\subsubsection{稠密关系}
	$C_c^\infty(\mathbb{R})$ 在 $L^p(\mathbb{R})$ 中稠密（$1 \leq p < \infty$）；
	
	$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 在 $L^p(\mathbb{R})$ 中同样稠密（$1 \leq p < \infty$），但在 $L^\infty(\mathbb{R})$ 中不稠密；
	
	$C^\infty(\mathbb{R})$ 中存在非 $L^p$ 函数（例如常函数 $1 \notin L^p(\mathbb{R})$
	
	
	\end{document}